Uniqueness of the solution to the Vlasov–Poisson system with bounded density

Abstract

In this paper, we show uniqueness of weak solutions to the Vlasov–Poisson system on the only condition that the macroscopic density ρ defined by $\rho (t,x)={\int }_{{\mathbb{R}}^d}f(t,x,\xi )\mathrm{d}\xi$ is bounded in $L^{\infty }$. Our proof is based on optimal transportation.

Résumé

Dans cet article, on démontre l'unicité des solutions faibles du système Vlasov–Poisson sous la seule condition que la densité macroscopique ρ, définie par $\rho (t,x)={\int }_{{\mathbb{R}}^d}f(t,x,\xi )\mathrm{d}\xi$, reste bornée dans $L^{\infty }$. Notre démonstration utilise le transport optimal. Elle fournit également une démonstration alternative du théorème de Youdovich sur l'unicité des solutions du système d'Euler 2-d incompressible avec vorticité dans $L^{\infty }$.