Cet article est le résultat d'une relecture de la démonstration de la conjecture {\fontencoding{U}\fontfamily{lasy}\selectfont(\kern-0.20em(\kern.175em}faiblement admissible implique admissible{\fontencoding{U}\fontfamily{lasy}\selectfont\kern.175em)\kern-0.20em)} par J.-M. Fontaine et l'auteur. On donne une version renforcée de l'un des ingrédients (le {\fontencoding{U}\fontfamily{lasy}\selectfont(\kern-0.20em(\kern.175em}lemme fondamental{\fontencoding{U}\fontfamily{lasy}\selectfont\kern.175em)\kern-0.20em)}) de cette démonstration, ce qui nous amène à introduire un corps non commutatif gigantesque $\mathfrak{C}$, de centre $\textbf{Q}_p$ et contenant un corps $C$ algébriquement clos et complet pour la norme $p$-adique comme sous-corps commutatif maximal. Un peu {\fontencoding{U}\fontfamily{lasy}\selectfont(\kern-0.20em(\kern.175em}d'algèbre linéaire{\fontencoding{U}\fontfamily{lasy}\selectfont\kern.175em)\kern-0.20em)} sur ce corps mène à l'introduction de la catégorie des Espaces (avec un E majuscule) de Banach de dimension finie, et la conjecture {\fontencoding{U}\fontfamily{lasy}\selectfont(\kern-0.20em(\kern.175em}faiblement admissible implique admissible{\fontencoding{U}\fontfamily{lasy}\selectfont\kern.175em)\kern-0.20em)} se réduit alors à un calcul de dimensions d'objets de cette catégorie.

AMS 2000 Mathematics subject classification: Primary 11S