Let $V$ be a compact Kähler manifold. Let $\mathcal G'$ be a commutative subgroup of $\Aut(V)$, and let $U$ be the set of elements of zero entropy of $\mathcal{G}'$. Then $U$ is a group and $\mathcal{G}'$ is isomorphic to the direct product $\mathcal{G}'\simeq U\times \mathcal{G}$, where $\mathcal{G}$ is a subgroup of $\mathcal{G}'$ such that all elements of $\mathcal{G}\setminus\id$ are of positive entropy. Moreover, $\mathcal{G}$ is a free commutative group with $\mbox{rank}(\mathcal{G})\leq \dim V-1$. The estimate is sharp. When $\mbox{rank}(\mathcal{G})=\dim V-1$, $U$ is finite. $\mbox{Rank}(\mathcal{G})$ satisfies other inequalities involving the dimensions of Dolbeault cohomology groups of $V$.

Soit $V$ une variété kählérienne compacte et soit $\mathcal{G}'$ un sous-groupe commutatif de $\Aut(V)$. Notons $U$ l'ensemble des éléments d'entropie nulle de $\mathcal{G}'$. Alors $U$ est un groupe. Il existe un sous-groupe $\mathcal{G}$ de $\mathcal{G}'$ dont les éléments différents de l'identité sont d'entropie positive et tel que $\mathcal{G}'$ soit isomorphe au produit $U\times \mathcal{G}$. Le groupe $\mathcal{G}$ est un groupe commutatif libre de rang $r\leq \dim V-1$. L'estimation est optimale. Lorsque $r=\dim V-1$, $U$ est fini. Le rang de $\mathcal{G}$ satisfait d'autres inégalités faisant intervenir la dimension des groupes de cohomologie de Dolbeault de $V$.