Soit $G$ un groupe fini; exist-t-il une infinité d'extensions galoisiennes de ${\bf Q}$ de groupe de Galois $G$?
Pour l'instant, on n'a pas de méthode générale pour attaquer cette question. HNéanmoins, supposons que l'on sache que $G$ est groupe de Galois d'une extension $L/K$, où $K$ est un corps; si $G'$ est une extension centrale de $G$ par ${\bf Z}/2{\bf Z}$, l'existence d'un extension $M$ de $L$ telle que $M/K$ soit galoisienne de groupe de Galois $G'$ est li'ee à l'annulation d'un certain élélemtn $w(L/K)$ du groupe de cohomologie ${\rm Br}_2(K)$. Nous examions dans cet exposé les deux cas suivants, que des constructions polynomiales élémentaires ont permis de résoudre.
Le preimier cas, déjà publié (J. of Algebra, vol. 131, 1990, volume dédié à W. Feit), est celui où $G$ est le groupe alterné $A_n(n\geq 4)$, et où $G'=A\tilde A_n$, l'unique extension centrale non triviale de $A_n$ par ${\bf Z}/2{\bf Z}$.
Nous construisons des extensions régulières $L$ de $K={\bf Q}(t)$ de groupe de Galois $A_n$ dont l'obstruction $w(L/K)$ est nulle, dloù l'existence d'une infinité d'extensions de ${\bf Q}$ de groupe de Galois $\tilde A_n$.
Cette construction a d'autres corollaires: par exemple, on en déduit l'existence d'une infinité d'extensions totalement réelles de ${\bf Q}$ de groupe de Galois $A_n$.
De plus, une construction analogue permet de prouver que les groupes $6A_6$ et %6A_7$ sont groupes de Galois d'extensions régulièrs de ${\bf Q}(t)$, et donc d'une infinité d'extensions de ${\bf Q}$.
L'autre cas, sur lequel nous insisterons plus particulièrement, n'est pas encore publié: ici, le groupe $G$ est égal à ${\rm PSL}_2({\bf F}_7)$, et $G'={\rm SL}_2({\bf F}_7)$; M. E. La Macchia a construit une extension $L$ régulière de $K={\bf Q}(t)$ de groupe de Galois $G$, dont le nombre de points de ramification d'indice pair est égal à 4; si $w(t)=w(L/K)$, on sait montrer qui'il existe $t_0\in{\bf Q}$ telle que l'obstruction $w(t_0)$ est nulle.
Le fait qu'il existe une extension de ${\bf Q}(t)$ de groupe de Galois ${\rm SL}_2({\bf F}_7)$ (et donc une infinité de telles extensions de ${\bf Q}$) résulte alors du résultat général suivant: Soit $k$ est un corps de caractéristique différente de 2, soit $t_0$ un élément de $k$, et $w$ un élément de ${\rm Br}_2(k(t))$ ramifié en un diviseur de degré total au plus 4. Il existe une fraction rationnelle $t=f(u)$ non constante, telle que $f(\infty)=t_0$ et telle que l'élément $w(f(u))$ de ${\rm Br}_2(k(u))$ soit constant, égal à $w(t_0)$.
De plus, si $k$ est un corps de nombres, on a un résultant analogue pour tout $w$ ramifié en un diviseur de degré total au plus 5.