L'interprétation arithmétique des valeurs aux entiers des fonctions $L$ complexes associées aux variétés projectives sur un corps de nombres est fondamental en théorie des nombres. A la suite de nombreux travaux, les conjectures à la Bloch-Kato ont permis de comprendre quelle est l'interprétation de ces nombres dans un cadre très général.
D'auture part, depuis les premiers exemples d'interpolation $p$-adique de ces nombres (nombres de Bernoulilli, valeurs des fonctions $L$ des courbes elliptiques modulaires en 1), on rêve de construire des fonctions $L$ $p$-adiques $L$ complexes. Deux points de vue sont utilisés. Dans le premier, on cherche à construire des fonctions par interpolation analytique des valeurs spéciales des fonctions $L$ complexes. Dans le deuxième point de vue, on construit à partir essentiellement de cohomologie galoisienne des modules sur l'algèbre d'Iwasawa que l'on "mesure" à l'aide d'applications "logarithme". Les conjectures principales relient les deux points de vue.
Par exemple, considérons la fonction $\zeta$ de Riemann définie comme le prolongement méromorphe $\zeta(s)$ à ${\bf C}$ de $$\sum_{n>0}n^{-s}=\prod_l(1-l^{-s})^{-1}$$ où le produit est pris sur les nombres premiers $l$. Un analogue $p$-adique de $\zeta$ a été construit par Kubota-Leopoldt puis par Iwasawa par interpolation $p$-adique des $\zeta(k)$ pour $k$ entier strictement négatif impair: ainsi, l'étude des propriétés $p$-adiques des $\zeta(k)$ ou plutôt de $$\zeta_{\{p\}}(k)=(1-p^{-k})\zeta(k)$$ permet de construire, pour toute classe $j$ modulo $p-1$ une function continue $\zeta_p(s,\omega^j)$ pour $s\in{\bf Z}_p-\{1\}$ et $\omega$ le caractère de Teichmüller telle que $\zeta_p(k,\omega^j)=\zeta_{\{p\}}(k)$ pour $k\equiv j\mod p-1$, $k$ entier négatif impair. D'autre part, Iwasawa a construit des modules reliés aux groupes des classes relatifs aux corps cyclotomiques des racines $p^n$-ièmes le l'unité. La célèbre conjecture principale démontrée par Mazur-Wiles puis par Rubin-Kolyvagin relie ces modules à la fonction $\zeta p$-adique.
Cet exemple est associé aux représentations $p$-adiques ${\bf Q}_p$ et ${\bf Q}_p(1)$ du groupe de Galois $G_{\bf Q}$ de $\overline{\bf Q}$ sur ${\bf Q}$ où $\overline{\bf Q}$ est une clôture algébrique de ${\bf Q}$. De grands progrès ont été faits récemment pour généraliser cela à une représentation linéaire $p$-adique de $G_{\bf Q}$, non ramifiée en dehors d'un nombre fini de places et cristalline aux places divisant $p$. On comprend maintenant bien le deuxième point de vue, c'est-à=dire celui des modules d'Iwasawa. On construit ainsi un $\Lambda$-module libre de rang 1 (sous des hypothèses convenables du type Lepoldt) que l'on appelle le module des fonctions $Lp$-adiques. Un des buts de l'exposé est d'expliquer ce point de vue.
Il est d'autre part intéressant de pouvoir formuler une conjecture précise sur les résultats d'interpolation que l'on attend...et de la vérifier dans chque nouveau cas particulier traité. C'est ce que nous essaierons aussi d'expliquer.
La conjecture principale dit alors que la fonction $Lp$-adique d'interpolation est une base du module des fonctions $Lp$-adiques.
Dans les deux points de vue, la fonction $Lp$-adique (ou le module des fonctions $Lp$-adiques) dépend d'un paramètre qui est dans une certaine puissance extérieure du module de Dieudonné-Fontaine en $p$ de la représentation $p$-adique. L'introduction de ce paramètre permet d'expliquer certains phénomènes que l'on trouvait dans la littérature (par exemple plusieurs fonctions $Lp$-adiques pour les courbes elliptiques ayant bonne réduction supersingulière en $p$, fonctions $Lp$-adiques attachées à un type $CM\ldots$). Enfin, le module de Dieudonné est muni d'un opérateur de Frobenius $\phi$. Son introduction permet là encore d'expliquer les facteurs d'Euler qui apparaissent dans l'interpolation $p$-adique.