Soient $F$ un corps $p$-adique, par exemple $F={\bf Q}_p$, $G$ un groupe réductif connexe défini sur $F$ et $T$ un sous-tore maximal de $G$. Soit $f$ une fonction sur $G(F)$ à valeurs complexes, localement constante et à support compact et soit $\gamma\in T(F)$ un élément (fortement) régulier dans $G(F)$. On pose $$\Phi^G(\gamma,f)=\int_{T(F)\sbs G(F)}f(x^{-1}\gamma x)dx.$$ On sait que quand $\gamma$ tend vers 1, cette intégrale orbitale a un développement de la forme $$\Phi^G(\gamma,f)=\sum_{u\in (U^G)}\Gamma_u(\gamma)\Phi^G(u,f),$$ où:
- $(U^G)$ est l'ensemble des orbites, pour la conjugaison par $G(F)$, d'éléments unipotents de $G(F)$;
- pour $u\in (U^G)$, $\Phi^G(u,f)$ est l'intégrale de $f$ sur l'orbite $u$ et $\Gamma_u$ est une fonction (indépendante de $f$0 Appelée le germe de Shalika associé à u.
Ces germes de Shalika interviennent de façon fondamentale dans bon nombre de questins d'analyse harmonique sur le groupe $G(F)$. Ils sont très faciles à définir et très difficiles à calculer.
La principlae application envisagé actuellement est la stabilisation de la formule des traces de Arthur-Selberg. Dans ce cadre (qui a été élaboré par Langlands), le problème n'est pas tant de calculer ces germes que de comparer les glands), le problème n'est pas tant de calculer ces germes que de comparer les germes pour le groupe $G$ avec ceux pour des groupes $H$ appelés groupes endoscopiques de $G$, dont on peut en particulier supposer qu'ils contiennent un tore maximal isomorphe à $T$. L'existence de ces groupes endoscopiques est liée au fait que deux éléments de $G(F)$ peuvent être conjugués dans $G(\overline F)$, où $\overline F$ est la clôture algébrique de $F$, sans l'être dans $G(F)$. La comparaison de ces germes est appelée le problème du transfert. Un problème lié est de comparer les intégrales $\Phi^G(\gamma,f)$ avec des intégrales $\Phi^H(\gamma,f^H)$, quand on se limite à des fonctions $f$ sur $G(F)$, resp. $f^H$ sur $H(F)$, biivariantes par un sous-groupe compact maximal convenable. Cette comparaison est appelée par Langlands "lemme fondamental".
On tentera de faire le point sur les différentes méthodes dont on dispose pour attaquer ces problèmes et sur les résultats, tous partiels, connus à ce jour.