Théorème de l'application spectrale pour le spectre essentiel quasi-Fredholm

In 1958, T. Kato proved that a closed semi-Fredholm operator $A$ in a Banach space can be written $A=A_1\oplus A_0$ where $A_0$ is a nilpotent operator and $A_1$ is a regular one.

J. P. Labrousse studied and characterised this class of operators in the case of Hilbert spaces. He also defined a new spectrum named ``essential quasi-Fredholm spectrum'' and denoted $\sigma _e(A)$.

In this paper we prove that the essential quasi-Fredholm spectrum defined by J. P. Labrousse satisfies the mapping spectral theorem, i.e.: If $A$ is a bounded operator in a Hilbert space and $f$ an analytic function in a neighbourhood of the spectrum $\sigma (A)$ of $A$, then $f(\sigma _e(A)) =\sigma _e(f(A))$.

RÉSUMÉ. En 1958, T. Kato a montré que si $A$ est un opérateur fermé dans un espace de Banach et semi-Fredholm, alors il existe $A_1,A_0$ tels que $A=A_1\oplus A_0$ où $A_0$ est nilpotent et $A_1$ est régulier.

J. P. Labrousse a étudié et caractérisé cette classe d'opérateurs dans le cadre des espaces de Hilbert et a défini un nouveau spectre qu'on appelle ``spectre essentiel quasi-Fredholm'' et noté par $\sigma _e(A)$.

Dans ce travail nous allons démontrer que le spectre essentiel quasi-Fredholm défini par J. P. Labrousse vérifie le théorème de l'application spectrale, c'est à dire: Si $A$ est un opérateur bourné d'un espace de Hilbert dans lui même et $f$ une fonction analytique au voisinage du spectre $\sigma (A)$ de $A$, alors $f(\sigma _e(A))=\sigma _e(f(A))$.