Ramifications, old and new, of the eigenvalue problem
Author:
Hermann Weyl
Journal:
Bull. Amer. Math. Soc. 56 (1950), 115-139
DOI:
https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1950-09369-0
Link to commentary:
Bull. Amer. Math. Soc., 49 (2012), no. 2, 325--326
MathSciNet review:
0034940
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Additional Information
1. H. Weyl, Die Gibbs’sche Erscheinung in der Theorie der Kugelfunktionen, Rend. Circ. Mat. Palermo vol. 29 (1910)pp. 308-328; Ueber die Gibbs’sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene, Rend. Circ. Mat. Palermo vol. 30 (1910) pp. 1-31.
- Hermann Weyl, Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins, Math. Ann. 77 (1916), no. 3, 313–352 (German). MR 1511862, DOI https://doi.org/10.1007/BF01475864
- Hermann Weyl, Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, Math. Ann. 68 (1910), no. 2, 220–269 (German). MR 1511560, DOI https://doi.org/10.1007/BF01474161
- Ernst Hellinger, Zur Stieltjesschen Kettenbruchtheorie, Math. Ann. 86 (1922), no. 1-2, 18–29 (German). MR 1512075, DOI https://doi.org/10.1007/BF01458568
- Georg Pick, Über die Beschränkungen analytischer Funktionen, welche durch vorgegebene Funktionswerte bewirkt werden, Math. Ann. 77 (1915), no. 1, 7–23 (German). MR 1511844, DOI https://doi.org/10.1007/BF01456817
- Hermann Weyl, Über das Pick-Nevanlinna’sche Interpolationsproblem und sein infinitesimales Analogon, Ann. of Math. (2) 36 (1935), no. 1, 230–254 (German). MR 1503221, DOI https://doi.org/10.2307/1968677
7. H. Weyl, Chapter 3 of the first, and §1 of the second, paper quoted under [3].
- Marshall Harvey Stone, Linear transformations in Hilbert space, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 15, American Mathematical Society, Providence, RI, 1990. Reprint of the 1932 original. MR 1451877
9. E. Hellinger, Neue Begründung der Theorie quadratischer Formen von unendlichvielen Veränderlichen, J. Reine Angew. Math. vol. 136 (1909) pp. 265-326.
- Emil Hilb, Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die dazugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, Math. Ann. 76 (1915), no. 2-3, 333–339 (German). MR 1511826, DOI https://doi.org/10.1007/BF01458146
- E. C. Titchmarsh, Eigenfunction Expansions Associated with Second-Order Differential Equations, Oxford, at the Clarendon Press, 1946 (German). MR 0019765
- Aurel Wintner, Stability and spectrum in the wave mechanics of lattices, Phys. Rev. (2) 72 (1947), 81–82. MR 20939
13. H. Weyl, Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen, Math. Ann. vol. 71 (1911) pp. 441-469; Ueber die Abhängigkeit der Eigenschwingungen einer Membran von deren Begrenzung, J. Reine Angew. Math. vol. 141 (1912) pp. 1-11.
14. See his account in: R. Courant and D. Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, vol. 1, 2d éd., Berlin, 1931, in particular Chap. 6, §4.
15. A. Weinstein, Étude des spectres des équations aux dérivées partielles de la théorie des plaques élastiques, Mémorial des Sciences Mathématiques, vol. 88, 1937.
- N. Aronszajn, Rayleigh-Ritz and A. Weinstein methods for approximation of eigenvalues. I. Operators in a Hilbert space, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 34 (1948), 474–480. MR 27955, DOI https://doi.org/10.1073/pnas.34.10.474
17. T. Carleman, Propriétés asymptotiques des fonctions fondamentales des membranes vibrantes, Förhandlingar Skandinaviska Matematikerkongressen Stockholm, 1934, pp. 34-44; Ueber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partieller Differentialgleichungen, Berichte über die Verhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig vol. 88 (1936) pp. 119-132.
- Åke Pleijel, Propriétés asymptotiques des fonctions et valeurs propres de certains problèmes de vibrations, Ark. Mat. Astr. Fys. 27A (1940), no. 13, 101 (French). MR 0003911
- S. Minakshisundaram, A generalization of Epstein zeta functions. With a supplementary note by Hermann Weyl, Canad. J. Math. 1 (1949), 320–327. MR 32861, DOI https://doi.org/10.4153/cjm-1949-029-3
- S. Bochner, Summation of derived Fourier series: an application to Fourier expansions on compact Lie groups, Ann. of Math. (2) 37 (1936), no. 2, 345–356. MR 1503282, DOI https://doi.org/10.2307/1968447
21. H. B. G. Casimir, Rotation of a rigid body in quantum mechanics, Leiden thesis, 1931.
- F. Peter and H. Weyl, Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe, Math. Ann. 97 (1927), no. 1, 737–755 (German). MR 1512386, DOI https://doi.org/10.1007/BF01447892
- Hermann Weyl, Almost periodic invariant vector sets in a metric vector space, Amer. J. Math. 71 (1949), 178–205. MR 28530, DOI https://doi.org/10.2307/2372104
24. I quote but the two most important papers: H. Bohr, Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I, Acta Math. vol. 45 (1925) pp. 29-127. J. von Neumann, Almost periodic functions in a group I, Trans. Amer. Math. Soc. vol. 36 (1934) pp. 445-492. For further references see [23].
- F. I. Mautner, Unitary representations of locally compact groups. I, Ann. of Math. (2) 51 (1950), 1–25. MR 32650, DOI https://doi.org/10.2307/1969494
26. H. Weyl, Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenschwingungen eines beliebig gestalteten elastischen Körpers, Rend. Circ. Mat. Palermo vol. 39 (1915) pp. 1-49.
1. H. Weyl, Die Gibbs’sche Erscheinung in der Theorie der Kugelfunktionen, Rend. Circ. Mat. Palermo vol. 29 (1910)pp. 308-328; Ueber die Gibbs’sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene, Rend. Circ. Mat. Palermo vol. 30 (1910) pp. 1-31.
2. H. Weyl, Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins, Math. Ann. vol. 77 (1916) pp. 313-352.
3. H. Weyl, Ueber gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, Math. Ann. vol. 68 (1910) pp. 220-269; Ueber gewöhnliche Differentialgleichungen mit singulären Stellen und ihre Eigenfunktionen, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen (1910) pp. 442-467.
4. E. Hellinger, Zur Stieltjes’schen Kettenbruchtheorie, Math. Ann. vol. 86 (1922) pp. 18-29.
5. G. Pick, Ueber die Beschränkungen analytischer Funktionen, welche durch vorgegebene Funktionswerte bewirkt werden, Math. Ann. vol. 77 (1916) pp. 7-23. R. Nevanlinna, Ueber beschränkte Funktionen, die in gegebenen Punkten vorgeschriebene Werte annehmen, Annales Academiae Scientiarium Fennicae vol. 13, No. 1, 1919; Ueber beschränkte analytische Funktionen, ibid. vol. 32, No. 7, 1929.
6. H. Weyl, Ueber das Pick-Nevanlinna’sche Interpolationsproblem und sein infinitesimales Analogon, Ann. of Math. vol. 36 (1935) pp. 230-254.
7. H. Weyl, Chapter 3 of the first, and §1 of the second, paper quoted under [3].
8. M. H. Stone, Linear transformations in Hilbert space. Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, vol. 15, 1932.
9. E. Hellinger, Neue Begründung der Theorie quadratischer Formen von unendlichvielen Veränderlichen, J. Reine Angew. Math. vol. 136 (1909) pp. 265-326.
10. E. Hilb, Ueber gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die dazugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, Math. Ann. vol. 76 (1915) pp. 333-339.
11. E. C. Titchmarsh, Eigenfunction expansions associated with second-order differential equations, Oxford, Clarendon Press, 1946.
12. A. Wintner, Stability and spectrum in the wave mechanics of lattices, Physical Review vol. 72 (1947) pp. 81-82; On the normalization of characteristic differentials in continuous spectra, ibid. vol. 72 (1947) pp. 516-517; On the location of continuous spectra, Amer. J. Math. vol. 70 (1948) pp. 22-30; Asymptotic integrations of the adiabatic oscillator, Amer. J. Math. vol. 69 (1947) pp. 251-272, and Duke Math. J. vol. 15 (1948) pp. 53-67. P. Hartmann and A. Wintner, An oscillation theorem for continuous spectra, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. vol. 33 (1947) pp. 376-379.
13. H. Weyl, Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen, Math. Ann. vol. 71 (1911) pp. 441-469; Ueber die Abhängigkeit der Eigenschwingungen einer Membran von deren Begrenzung, J. Reine Angew. Math. vol. 141 (1912) pp. 1-11.
14. See his account in: R. Courant and D. Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, vol. 1, 2d éd., Berlin, 1931, in particular Chap. 6, §4.
15. A. Weinstein, Étude des spectres des équations aux dérivées partielles de la théorie des plaques élastiques, Mémorial des Sciences Mathématiques, vol. 88, 1937.
16. N. Aronszajn, Rayleigh-Ritz and A. Weinstein methods for approximation of eigenvalues I: Operators in a Hilbert space, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. vol. 34 (1948) pp. 474-480; II: Differential operators, ibid. pp. 594-601.
17. T. Carleman, Propriétés asymptotiques des fonctions fondamentales des membranes vibrantes, Förhandlingar Skandinaviska Matematikerkongressen Stockholm, 1934, pp. 34-44; Ueber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partieller Differentialgleichungen, Berichte über die Verhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig vol. 88 (1936) pp. 119-132.
18. Å. Pleijel, Propriétés asymptotiques des fonctions et valeurs propres de certains problèmes de vibration, Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik vol. 27 A, No. 13, 1940; Sur la distribution des valeurs propres de problèmes régis par l’équation Δu + λk(x, y), ibid. vol. 29 B, No. 7, 1943; On Hilbert-Schmidt’s theorem in the theory of partial differential equations, Fysiografiska Sälskapets i Lund Förhandlingar vol. 17, No. 2, 1946; Asymptotic relations for the eigenfunctions of certain boundary problems of polar type, Amer. J. Math. vol. 70 (1948) pp. 892-907.
19. S. Minakshisundaram, A generalization of Epstein zeta functions, Canadian Journal of Mathematics vol. 1 (1949) pp. 320-327. S. Minakshisundaram and Å Pleijel, Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-operator on Riemannian manifolds, Canadian Journal of Mathematics vol. 1 (1949) pp. 242-256.
20. S. Bochner, Summation of derived Fourier series (An application to Fourier expansions on compact Lie groups), Ann. of Math. vol. 37 (1936) pp. 345-356.
21. H. B. G. Casimir, Rotation of a rigid body in quantum mechanics, Leiden thesis, 1931.
22. F. Peter and H. Weyl, Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe, Math. Ann. vol. 97 (1927) pp. 737-755.
23. H. Weyl, Almost periodic invariant vector sets in a metric vector space, Amer. J. Math. vol. 71 (1949) pp. 178-205.
24. I quote but the two most important papers: H. Bohr, Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I, Acta Math. vol. 45 (1925) pp. 29-127. J. von Neumann, Almost periodic functions in a group I, Trans. Amer. Math. Soc. vol. 36 (1934) pp. 445-492. For further references see [23].
25. I. Gelfand and D. Rykov, Irreducible unitary representations of locally compact groups, Rec. Math. (Mat. Sbornik) N. S. vol. 3 (1943) pp. 301-316; also: Academy of Sciences of the USRR. Journal of Physics vol. 10 (1946) pp. 93-94. V. Bargmann, Irreducible unitary representations of the Lorentz group, Ann. of Math. (2) vol. 48 (1947) pp. 568-640. I. E. Segal, Irreducible representations of operator algebras, Bull. Amer. Math. Soc. vol. 53 (1947) pp. 73-88.
26. H. Weyl, Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenschwingungen eines beliebig gestalteten elastischen Körpers, Rend. Circ. Mat. Palermo vol. 39 (1915) pp. 1-49.
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