The Schläfli formula in Einstein manifolds with boundary

We give a smooth analogue of the classical Schläfli formula, relating the variation of the volume bounded by a hypersurface moving in a general Einstein manifold and the integral of the variation of the mean curvature. We extend it to variations of the metric in a Riemannian Einstein manifold with boundary, and apply it to Einstein cone-manifolds, to isometric deformations of Euclidean hypersurfaces, and to the rigidity of Ricci-flat manifolds with umbilic boundaries. Résumé. On donne un analogue régulier de la formule classique de Schläfli, reliant la variation du volume borné par une hypersurface se déplaçant dans une variété d’Einstein à l’intégrale de la variation de la courbure moyenne. Puis nous l’étendons aux variations de la métrique à l’intérieur d’une variété d’Einstein riemannienne à bord. On l’applique aux cone-variétés d’Einstein, aux déformations isométriques d’hypersurfaces de $E^n$, et à la rigidité des variétés Ricci-plates à bord ombilique.