La singularité de O’Grady

Let $M_{2v}$ be the moduli space of semistable sheaves with Mukai vector $2v$ on an abelian or $K3$ surface where $v$ is primitive such that $\langle v,v \rangle =2$. We show that the blow-up of the reduced singular locus of $M_{2v}$ provides a symplectic resolution of singularities. This provides a direct description of O’Grady’s resolutions of $M_{K3}(2,0,4)$ and $M_{Ab}(2,0,2)$.

Résumé. Soit $M_{2v}$ l’espace de modules des faisceaux semi-stables de vecteur de Mukai $2v$ sur une surface $K3$ ou abélienne où $v$ est primitif tel que $\langle v,v \rangle =2$. Nous montrons que l’éclatement de $M_{2v}$ le long de son lieu singulier réduit fournit une résolution symplectique des singularités. Ceci donne une description directe des résolutions de O’Grady de $M_{K3}(2,0,4)$ et $M_{Ab}(2,0,2)$.