Tutte polynomials and bicycle dimension of ternary matroids

Abstract:

Let $M$ be a ternary matroid, $t\left ( {M,x,y} \right )$ be its Tutte polynomial and $d\left ( M \right )$ be the dimension of the bicycle space of any representation of $M$ over ${\text {GF}}\left ( 3 \right )$. We show that, for $j = {e^{2i\pi /3}}$, the modulus of the complex number $t\left ( {M,j,{j^2}} \right )$ is equal to ${\left ( {\sqrt 3 } \right )^{d\left ( M \right )}}$. The proof relies on the study of the weight enumerator ${W_\mathcal {C}}\left ( y \right )$ of the cycle space $\mathcal {C}$ of a representation of $M$ over ${\text {GF}}\left ( 3 \right )$ evaluated at $y = j$. The main tool is the concept of principal quadripartition of $\mathcal {C}$ which allows a precise analysis of the evolution of the relevant invariants under deletion and contraction of elements. Soit $M$ un matroïde ternaire, $t\left ( {M,x,y} \right )$ son polynôme de Tutte et $d\left ( M \right )$ la dimension de l’espace des bicycles d’une représentation quelconque de $M$ sur ${\text {GF}}\left ( 3 \right )$. Nous montrons que, pour $j = {e^{2i\pi /3}}$, le module du nombre complexe $t\left ( {M,j,{j^2}} \right )$ est égal à ${\left ( {\sqrt 3 } \right )^{d\left ( M \right )}}$. La preuve s’appuie sur l’étude de l’énumérateur de poids ${W_\mathcal {C}}\left ( y \right )$ de l’espace des cycles $\mathcal {C}$ d’une représentation de $M$ sur ${\text {GF}}\left ( 3 \right )$ pour la valeur $y = j$. L’outil essentiel est le concept de quadripartition principale de $\mathcal {C}$ qui permet une analyse précise de l’évolution des invariants concernés relativement à la suppression ou contraction d’éléments.