Sur la théorie spectrale locale et limite des nilpotents

Abstract:

Résumé. Dans ce travail, nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu’un opérateur fermé dans un espace de Banach admette la propriété de l’extension unique. Pour cela nous introduisons la notions du coeur analytique d’un opérateur. Nous établissons plusieurs propriétés des opérateurs dont le coeur analytique est réduit à zéro (l’ensemble de ces opérateurs est noté $\mathcal {K}{\mathcal {A}_0}(H)$ où $H$ est un Hilbert), notamment nous montrons que si $T \in \mathcal {K}{\mathcal {A}_0}(H)$ alors $0 \in \sigma ({T_{|M}})$ pour tout sous-espace invariant $M \ne \{ 0\}$. En particulier ${\sigma _p}(T) \subseteq \{ 0\} ,\sigma (T)$ est connexe et contient zéro et si $T$ est décomposable alors $T$ est quasinilpotent. Nous montrons aussi que l’ensemble $(\mathcal {K}\mathcal {A}(H))$ des opérateurs $T$ tels que $T,{T^ * } \in \mathcal {K}{\mathcal {A}_0}(H)$ est inclus strictement dans l’adhérence des nilpotents $(\overline {\mathcal {N}})$. Et pour tout $T \in \overline {\mathcal {N}}$ et $\varepsilon > 0$, il existe ${K_\varepsilon }$ opérateur compact tel que $\left \| {{K_\varepsilon }} \right \| < \varepsilon$ et $T + {K_\varepsilon } \in \mathcal {K}\mathcal {A}(H)$.