Le calcul fonctionnel dans l’espace de Besov critique

Abstract:

Si $F$ une fonction de la variable complexe qui opère, par composition à gauche, sur l’espace de Besov $B_p^{s,q}({\mathbb {R}^n})$ ou sur l’espace de Triebel-Lizorkin $F_p^{s,q}({\mathbb {R}^n})$, où $0 < s < 1,s = n/p,1 \leq q \leq + \infty (q > 1$, dans le cas de l’espace de Besov), alors $F$ est globalement lipschitzienne. Ce résultat achève la description du calcul fonctionnel dans $B_p^{s,q}({\mathbb {R}^n})$ et dans $F_p^{s,q}({\mathbb {R}^n})$, pour $0 < s < 1$. Let $F$ be a complex variable function which acts, via left composition, on the Besov space $B_p^{s,q}({\mathbb {R}^n})$ or the Triebel-Lizorkin space $F_p^{s,q}({\mathbb {R}^n})$, where $0 < s < 1,s = n/p,1 \leq q \leq + \infty (q > 1$, in the Besov case); then $F$ is globally lipschitz. This theorem—added to previous results on the noncritical case—provides a complete characterization of the functional calculus on $B_p^{s,q}({\mathbb {R}^n})$ and $F_p^{s,q}({\mathbb {R}^n})$, for $0 < s < 1$.