Incompatibility of compact perturbations with the Sz. Nagy–Foias functional calculus

Abstract:

For every absolutely continuous contraction T with spectrum on the unit circle, we exhibit an ${H^\infty }$ function h and a sequence of operators ${T_n}$ which are unitarily equivalent to T and differ from T by a sequence of compact operators converging to 0 in norm such that $h({T_n})$ is never a compact perturbation of $h(T)$. When T is diagonal, it can also be arranged that $T - {T_n}$ is trace class, and ${T_n}$ commutes with T. Pour toute contraction absolument continue T dont le spectre rencontre le cercle unité, il existe une fonction h de ${H^\infty }$ et une suite ${T_n}$ d’opérateurs unitairement equivalents à T telle que $T - {T_n}$ soit compact et convergent en norme vers 0, mais $h({T_n}) - h(T)$ soit non compact pour tout n. Dans le cas où T est diagonal, la suite ${T_n}$ vérifie en plus $T - {T_n}$ est un opérateur à trace, et ${T_n}$ commute avec T.