Ensembles sur lesquels les polynômes sont déterminés par leur image

Abstract:

Let $A$ be a non-empty subset of the complex plane $\mathbb {C}$, and $P$, $Q$ two complex polynomials. If $P$ and $Q$ having the same image on $A$ implies $P=Q$, we say that $A$ is a generalized unicity set (for polynomials). We construct in this paper a subset $A$ of $\mathbb {C}$ such that $A$ and $\mathbb {C}\setminus A$ are generalized unicity sets, and we give an example of a generalized unicity set which is open, connected and unbounded. Résumé. Soit $A$ un sous-ensemble non vide du plan complexe $\mathbb {C}$, et $P$, $Q$ deux fonctions polynômes à coefficients complexes. Si l’égalité $P(A)=Q(A)$ entraîne $P=Q$, on dira que $A$ est un ensemble d’unicité généralisée (pour les polynômes). On construit dans cet article un sous-ensemble $A$ de $\mathbb {C}$ tel que $A$ et $\mathbb {C}\setminus A$ sont d’unicité généralisée, et on donne aussi l’exemple d’un ensemble d’unicité généralisée qui est ouvert, connexe et non borné.