Sommes de Cesàro et multiplicateurs des développements en harmoniques sphériques
HTML articles powered by AMS MathViewer
- by Aline Bonami and Jean-Louis Clerc
- Trans. Amer. Math. Soc. 183 (1973), 223-263
- DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1973-0338697-5
- PDF | Request permission
Abstract:
Nous établissons une inégalité entre les sommes de Cesáro et la fonction maximale associées á une fonction définie sur la sphére, et nous en déduisons divers résultats de convergence en norme ${L^p}$, convergence presque partout, localisation des développements en harmoniques sphériques, ainsi qu’un théorème de multiplicateurs qui généralise le théorème classique de Marcinkiewicz sur les séries trigonométriques. La même étude est faite pour les développements suivant les polynômes ultrasphériques. Nous montrons de plus que les sommes partielles du développement en harmoniques sphériques d’une fonction de ${L^p}({\Sigma _n}),p \ne 2$, ne convergent pas forcément en norme.References
- Richard Askey and I. I. Hirschman Jr., Mean summability for ultraspherical polynomials, Math. Scand. 12 (1963), 167–177. MR 164198, DOI 10.7146/math.scand.a-10680
- Aline Bonami, Multiplicateurs des séries ultrasphériques, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 273 (1971), A148–A150 (French). MR 288491
- Jean-Louis Clerc, Fonctions de Paley-Littlewood sur $\textrm {SU}(2)$ attachées aux sommes de Riesz, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 272 (1971), A1697–A1699 (French). MR 279239
- Jean-Louis Clerc, Les sommes partielles de la décomposition en harmoniques sphériques ne convergent pas dans ${\bf {\rm }L}^{p}$ $(p\not =2)$, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 274 (1972), A59–A61 (French). MR 293328
- Ronald R. Coifman and Guido Weiss, Analyse harmonique non-commutative sur certains espaces homogènes, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 242, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971 (French). Étude de certaines intégrales singulières. MR 0499948, DOI 10.1007/BFb0058946
- Charles Fefferman, Inequalities for strongly singular convolution operators, Acta Math. 124 (1970), 9–36. MR 257819, DOI 10.1007/BF02394567
- Charles Fefferman, The multiplier problem for the ball, Ann. of Math. (2) 94 (1971), 330–336. MR 296602, DOI 10.2307/1970864
- C. Fefferman and E. M. Stein, Some maximal inequalities, Amer. J. Math. 93 (1971), 107–115. MR 284802, DOI 10.2307/2373450
- Ramesh Gangolli, Positive definite kernels on homogeneous spaces and certain stochastic processes related to Lévy’s Brownian motion of several parameters, Ann. Inst. H. Poincaré Sect. B (N.S.) 3 (1967), 121–226. MR 0215331
- John E. Gilbert, Maximal theorems for some orthogonal series. I, Trans. Amer. Math. Soc. 145 (1969), 495–515. MR 252941, DOI 10.1090/S0002-9947-1969-0252941-3
- Sigurđur Helgason, Differential geometry and symmetric spaces, Pure and Applied Mathematics, Vol. XII, Academic Press, New York-London, 1962. MR 0145455
- Lars Hörmander, On the Riesz means of spectral functions and eigenfunction expansions for elliptic differential operators, Some Recent Advances in the Basic Sciences, Vol. 2 (Proc. Annual Sci. Conf., Belfer Grad. School Sci., Yeshiva Univ., New York, 1965-1966) Yeshiva Univ., Belfer Graduate School of Science, New York, 1969, pp. 155–202. MR 0257589
- Lars Hörmander, The spectral function of an elliptic operator, Acta Math. 121 (1968), 193–218. MR 609014, DOI 10.1007/BF02391913
- Satoru Igari and Shigehiko Kuratsubo, A sufficient condition for $L^{p}$-multipliers, Pacific J. Math. 38 (1971), 85–88. MR 306793, DOI 10.2140/pjm.1971.38.85 E. Kogbetliantz, Recherches sur la sommabilité des séries ultrasphériques par la méthode des moyennes arithmétiques, J. Math. Pures Appl. 89 (1924), 107-187. J. Marcinkiewicz, Sur les multiplicateurs des séries de Fourier, Studia Math. 8 (1939), 78-91.
- B. Muckenhoupt and E. M. Stein, Classical expansions and their relation to conjugate harmonic functions, Trans. Amer. Math. Soc. 118 (1965), 17–92. MR 199636, DOI 10.1090/S0002-9947-1965-0199636-9
- Elias M. Stein, Localization and summability of multiple Fourier series, Acta Math. 100 (1958), 93–147. MR 105592, DOI 10.1007/BF02559603
- Elias M. Stein, Topics in harmonic analysis related to the Littlewood-Paley theory. , Annals of Mathematics Studies, No. 63, Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1970. MR 0252961 —, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1971.
- Elias M. Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces, Princeton Mathematical Series, No. 32, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. MR 0304972
- Gábor Szegő, Orthogonal polynomials, 4th ed., American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXIII, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1975. MR 0372517
- N. Ja. Vilenkin, Spetsial′nye funktsii i teoriya predstavleniĭ grupp, Izdat. “Nauka”, Moscow, 1965 (Russian). MR 0209523
- Norman J. Weiss, $L^{P}$ estimates for bi-invariant operators on compact Lie groups, Amer. J. Math. 94 (1972), 103–118. MR 296217, DOI 10.2307/2373596
- A. Zygmund, Trigonometric series. 2nd ed. Vols. I, II, Cambridge University Press, New York, 1959. MR 0107776
Bibliographic Information
- © Copyright 1973 American Mathematical Society
- Journal: Trans. Amer. Math. Soc. 183 (1973), 223-263
- MSC: Primary 43A85; Secondary 43A22
- DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1973-0338697-5
- MathSciNet review: 0338697