Perturbed dynamical systems with an attracting singularity and weak viscosity limits in Hamilton-Jacobi equations

Abstract:

We give a new PDE proof of the Wentzell-Freidlin theorem concerning small perturbations of a dynamical system \[ \begin {gathered} {L_\varepsilon }{u_\varepsilon } = - \tfrac {\varepsilon } {2}\Delta {u_\varepsilon } - b \cdot \nabla {u_3} = 0\quad {\text {in}}\;\Omega , \hfill \\ {u_\varepsilon } = \varphi \quad {\text {on}}\;\partial \Omega . \hfill \\ \end {gathered} \] We prove that, if $b$ has a single attractive singular point, ${u_\varepsilon }$ converges uniformly on compact subsets of $\Omega$, and with an exponential decay, to a constant $\mu$, and we determine $\mu$. We also treat the case of Neumann boundary condition. In order to do so, we perform the asymptotic analysis for some ergodic measure which leads to a study of the viscosity limit of a Hamilton-Jacobi equation. This is achieved under very general assumptions by using a weak formulation of the viscosity limits of these equations. Résumé. Nous donnons une nouvelle preuve, par des méthodes EDP, du théorème de Wentzell-Freidlin concernant les petites perturbations d’un système dynamique: \[ \begin {gathered} {L_\varepsilon }{u_\varepsilon } = - \tfrac {\varepsilon } {2}\Delta {u_\varepsilon } - b \cdot \nabla {u_\varepsilon } = 0\quad {\text {dans}}\;\Omega , \hfill \\ {u_\varepsilon } = \varphi \quad {\text {sur}}\;\partial \Omega . \hfill \\ \end {gathered} \] Nous prouvons que, si $b$ a un seul point singulier attractif, alors ${u_\varepsilon }$ converge vers une constant $\mu$, uniformément sur tout compact, et avec une vitesse exponentielle. Nous déterminons $\mu$. Nous traitons aussi le cas de conditions aux limites de Neuman. Pour cela, nous faisons l’analyse asymptotique d’une mesure ergodique intervenant naturellement dans le problème, ce qui revient à étudier la limite par viscosité évanescente dans une équation de Hamilton-Jacobi. Ceci est réalisé sous des hypothèses très générales gâce à un passage à la limite faible dans cette équation.