The possible orders of solutions of linear differential equations with polynomial coefficients

Gundersen, Gary; Steinbart, Enid; Wang, Shupei

doi:10.1090/S0002-9947-98-02080-7

The possible orders of solutions of linear differential equations with polynomial coefficients
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by Gary G. Gundersen, Enid M. Steinbart and Shupei Wang

Trans. Amer. Math. Soc. 350 (1998), 1225-1247

DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-98-02080-7

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Abstract:

We find specific information about the possible orders of transcendental solutions of equations of the form $f^{(n)}+p_{n-1}(z)f^{(n-1)}+\cdots +p_{0}(z)f=0$, where $p_0(z), p_1(z),\dots , p_{n-1}(z)$ are polynomials with $p_0(z) \not \equiv 0$. Several examples are given.

References

Gary G. Gundersen, Estimates for the logarithmic derivative of a meromorphic function, plus similar estimates, J. London Math. Soc. (2) 37 (1988), no. 1, 88–104. MR 921748, DOI 10.1112/jlms/s2-37.121.88
Winfried Helmrath and Johannes Nikolaus, Ein elementarer Beweis bei der Anwendung der Zentralindexmethode auf Differentialgleichungen, Complex Variables Theory Appl. 3 (1984), no. 4, 387–396 (German, with English summary). MR 755600, DOI 10.1080/17476938408814078
Gerhard Jank and Lutz Volkmann, Einführung in die Theorie der ganzen und meromorphen Funktionen mit Anwendungen auf Differentialgleichungen, UTB für Wissenschaft: Grosse Reihe. [UTB for Science: Large Series], Birkhäuser Verlag, Basel, 1985 (German). MR 820202, DOI 10.1007/978-3-0348-6621-7
Ilpo Laine, Nevanlinna theory and complex differential equations, De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 15, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1993. MR 1207139, DOI 10.1515/9783110863147
Klaus Pöschl, Über Anwachsen und Nullstellenverteilung der ganzen transzendenten Lösungen linearer Differentialgleichungen. I, J. Reine Angew. Math. 199 (1958), 121–138 (German). MR 100127, DOI 10.1515/crll.1958.199.121
G. Valiron, Lectures on the general theory of integral functions, translated by E. F. Collingwood, Chelsea, New York, 1949.
A. Wiman, Über den Zusammenhang zwischen dem Maximalbetrage einer analytischen Funktion und dem größten Betrage bei gegebenem Argumente der Funktion, Acta Math. 41 (1916), 1–28.
P. Hebroni, Sur les inverses des éléments dérivables dans un anneau abstrait, C. R. Acad. Sci. Paris 209 (1939), 285–287 (French). MR 14
Hans Wittich, Neuere Untersuchungen über eindeutige analytische Funktionen, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 8, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1968 (German). Zweite, korrigierte Auflage. MR 0244490, DOI 10.1007/978-3-642-87594-6