Problème de Dirichlet pour une équation de Monge-Ampère réelle elliptique dégénérée en dimension $n$

Abstract:

On considère dans un ouvert borné $\Omega$ de $\mathbb {R}^n$, à bord régulier, le problème de Dirichlet \begin{equation*} \left \{ \begin {split} & \det u_{ij}=f(x)\text { dans }\Omega , & u|_{\partial \Omega }=\varphi , \end{split}\right .\tag {1} \end{equation*} où $f\in C^{s_*}(\overline \Omega ), \varphi \in C^{s_*+2,\alpha }(\Omega )$, $f$ est positive et s’annule sur $\Sigma$ un ensemble fini de points de $\Omega$. On démontre alors sous certaines hypothèses sur $\varphi$ et si $|\det \varphi _{ij}-f|_{C^{s_*}}$ est assez petit, que le problème (1) possède une solution convexe unique $u\in C^{[s_*-3-n/2]}(\overline \Omega )$. Abstract. We consider in a bounded open set $\Omega$ of $\mathbb {R}^n$, with regular boundary, the Dirichlet problem \begin{equation*} \left \{ \begin {split} & \det u_{ij}=f(x)\text { in }\Omega , & u|_{\partial \Omega }=\varphi , \end{split}\right .\tag {1} \end{equation*} where $f\in C^{s_*}(\overline \Omega ), \varphi \in C^{s_*+2,\alpha }(\Omega )$, $f$ is positive and vanishes on $\Sigma$, a finite set of points in $\Omega$. We prove, under some hypothesis on $\varphi$ and if $|\det \varphi _{ij}-f|_{C^{s_*}}$ is sufficiently small, that the problem (1) has a unique convex solution $u\in C^{[s_*-3-n/2]}(\overline \Omega )$.