Absolutely continuous S.R.B. measures for random Lasota-Yorke maps

Abstract:

A. Lasota and J. A. Yorke proved that a piecewise expanding interval map admits finitely many ergodic absolutely continuous invariant probability measures. We generalize this to the random composition of such maps under conditions which are natural and less restrictive than those previously studied by Morita and Pelikan. For instance our conditions are satisfied in the case of arbitrary random $\beta$-transformations, i.e., $x\mapsto \beta x\mod 1$ on $[0,1]$ where $\beta$ is chosen according to any stationary stochastic process (in particular, not necessarily i.i.d.) with values in $]1,\infty [$. Résumé. A. Lasota et J. A. Yorke ont montré qu’une application de l’intervalle dilatante par morceaux admet un nombre fini de mesures de probabilité invariantes et ergodiques absolument continues. Nous généralisons ce résultat à la composition aléatoire de telles applications sous des conditions naturelles, moins restrictives que celles précédemment envisagées par Morita et Pelikan. Par exemple, nos conditions sont satisfaites par toute $\beta$-transformation aléatoire, i.e., $x\mapsto \beta x\mod 1$ sur $[0,1]$ avec $\beta$ choisi selon un processus stochastique stationnaire quelconque (en particulier, non-nécessairement i.i.d.) à valeurs dans $]1,\infty [$.