Un calcul d’anneaux de déformations potentiellement Barsotti–Tate

Abstract:

Soit $F$ une extension non ramifiée de $\mathbb {Q}_{p}$ incluse dans une clôture algébrique $\overline {\mathbb {Q}}_p$ de $\mathbb {Q}_p$ fixée. Le premier objectif de ce travail est de présenter une méthode purement locale pour calculer les anneaux de déformations potentiellement Barsotti–Tate de type galoisien modéré de niveau $[F : \mathbb {Q}_{p}]$ des représentations irréductibles de dimension $2$ de $\mathrm {Gal}(\overline {\mathbb {Q}}_p/F)$. Nous appliquons ensuite cette méthode dans le cas particulier où $F$ est de degré $2$ sur $\mathbb {Q}_{p}$, ce qui nous conduit, dans ce cas, à la détermination presque exhaustive de ces anneaux de déformations. Notre approche met en évidence un lien, apparemment ténu, entre la structure de ces anneaux de déformations et la géométrie de la variété de Kisin correspondante.

En guise de corollaire, nous vérifions, toujours dans le cas où $F$ est de degré $2$ sur $\mathbb {Q}_{p}$ et à l’exception de deux cas très particuliers, une conjecture de Kisin qui prédit que les multiplicités galoisiennes intrinsèques valent toutes $0$ ou $1$.

Abstract. Let $F$ be an unramified extension of $\mathbb {Q}_{p}$. The first aim of this work is to develop a purely local method to compute the potentially Barsotti–Tate deformation rings with tame Galois type of level $[F : \mathbb {Q}_{p}]$ of irreducible two-dimensional representations of the absolute Galois group of $F$. We then apply our method in the particular case where $F$ has degree $2$ over $\mathbb {Q}_{p}$ and determine in this way almost all these deformation rings. In this particular case, we observe a close relationship between the structure of these deformation rings and the geometry of the associated Kisin variety.

As a corollary and still assuming that $F$ has degree $2$ over $\mathbb {Q}_{p}$, we prove, except in two very particular cases, a conjecture of Kisin which predicts that intrinsic Galois multiplicities are all equal to $0$ or $1$.