Groupe de Brauer non ramifié de quotients par un groupe fini

Abstract:

Soit $k$ un corps, $G$ un groupe fini, $G \hookrightarrow SL_{n,k}$ un plongement. Pour $k$ algébriquement clos, Bogomolov a donné une formule pour le groupe de Brauer non ramifié du quotient $SL_{n,k}/G$. On examine ce que donne sa méthode sur un corps $k$ quelconque (de caractéristique nulle). Par cette méthode purement algébrique, on retrouve et étend des résultats obtenus au moyen de méthodes arithmétiques par Harari et par Demarche, comme la tri- vialité du groupe de Brauer non ramifié pour $k=\mathbf {Q}$ et $G$ d’ordre impair.

[Let $k$ be a field, $G$ a finite group, $G \hookrightarrow SL_{n,k}$ an embedding. For $k$ an algebraically closed field, Bogomolov gave a formula for the unramified Brauer group of the quotient $SL_{n,k}/G$. We develop his method over any characteristic zero field. This purely algebraic method enables us to recover and generalize results of Harari and of Demarche over number fields, such as the triviality of the unramified Brauer group for $k=\mathbf {Q}$ and $G$ of odd order.]